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November 22, 2022
2022 ICPC Seoul Regional
2022 ICPC Seoul Regional ICPC 서울 리저널 측이 공식 풀이를 제공하지 않아서 2020년부터 ICPC 리저널의 비공식 풀이를 작성하고 있다. 이번에도 그 때와 같이 2022 ICPC Seoul Regional의 문제를 풀어보는 시간을 가진다. 올해 문제의 난이도는 작년과 유사한 수준으로 꽤 어려운 편에 속한다. 체감상은 작년보다도 약간 더 어려운 느낌인데, 스코어보드로는 그렇게 보이지 않는다는 점에서 참가 팀의 수준이 높아졌다고 느꼈다. 일부 문제들은 구현했으며, Github 에 icpc22_ 로 시작하는 이름으로 AC 코드를 업로드하였다. 문제 풀이 한 줄 요약 A:...
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October 20, 2022
Inapproximability in computational hardness
Inapproximability in computational hardness 근사 알고리즘(Approximation algorithm)은, 문제에 대한 최적해를 제공하지는 못하나, 최적해에 근접한 해(근사해)를 빠른 시간에 찾는 알고리즘이다. NP-Complete인 문제들은 $P \neq NP$ 인 이상 최적해를 다항 시간에 구할 수 없는데, 이러한 문제를 회피하는 여러 방법 중 가장 많이 연구되는 방법 중 하나가 근사 알고리즘이다. 근사 알고리즘의 목표는, 최적해에 근접함이 보장된 해를 다항 시간에 찾는 것이며, 가능하다면 그 보장의 정도를 최대한으로 끌어오는 것이다. 모든 문제가 근사 알고리즘으로 쉽게 해결되었으면 정말 좋았겠지만 당연히 세상 일이...
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September 1, 2022
IOI 2022
IOI 2022 IOI 2022 대회가 종료되었다. 올해 대회의 개최지는 인도네시아에서 진행하며, 온라인 대회 역시 병행한다. 한국 팀은 온라인 참가를 결정하였기 때문에, 현재 서울에서 모여서 감독 하에 대회를 진행하고 있다. 이 글에서는 해당 대회에 출제된 문제들을 하나 하나 풀어보고, 그 풀이를 소개한다. IOI에는 다양한 문제가 나오기 때문에 모든 풀이를 하나의 주제로 요약할 수는 없다. 고로 각 풀이의 핵심 키워드를 아래에 정리하였다. 구현한 풀이는 모두 https://github.com/koosaga/olympiad/tree/master/IOI 에서 찾을 수 있다. 문제 풀이 한 줄 요약 fish: 문제...
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August 14, 2022
Conditional Hardness for Sensitivity Problems
Conditional Hardness for Sensitivity Problems 이 글에서는 Monika Henzinger, Andrea Lincoln, Stefan Neumann, Virginia Vassilevska Williams의 Conditional Hardness for Sensitivity Problems 라는 논문을 요약한다. 이론 전산에서 Dynamic algorithm은, 입력 데이터에 작은 변화가 점진적으로 가해지더라도 데이터에 대해 물어볼 수 있는 특정한 문제들의 답을 그대로 보존하는 알고리즘을 뜻한다. 예를 들어서, 그래프의 “연결성” (connectivity) 를 보존하는 dynamic algorithm은 입력 그래프에 간선 추가와 제거가 이루어질 때 $s - t$ 간에 경로가 있는지 여부의 쿼리를 반환할 수 있다. 최근 이루어진...
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July 17, 2022
Treewidth를 사용한 PS 문제 해결
알고리즘에서 다루는 많은 문제들은 그래프 문제로 환원할 수 있는데, 일반적인 그래프에서 어떤 문제들은 효율적으로 해결이 불가능한 경우가 있다. 이러한 비효율성의 대표적인 예시는 NP-hard로, 어떠한 문제가 NP-hard일 경우 다항 시간으로 푸는 것이 아예 불가능할 가능성이 높다. 그 외에도, 최단 경로 문제와 같이 다양한 쿼리에 대해서 빠른 시간 안에 해결하는 것이 어려운 경우 등, 비효율성의 예시는 NP-hard에 한정되지 않는다. 이러한 비효율성에 당착했을 때 자주 취하는 전략은 환원한 그래프의 특수성에 의존하는 것이다. 예를 들어, NP-hard 문제들이라 하더라도 그래프가...
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June 2, 2022
Congestion Balancing
Congestion Balancing 일반적인 그래프에서 효율적으로 해결할 수 있는 문제들을, 간선이 추가되고 제거되는 등의 업데이트가 가해질 때도 효율적으로 해결할 수 있는지를 연구하는 분야를 Dynamic Graph Algorithm이라고 부른다. 이 분야에 대해서는 최근 많은 연구가 진행되고 있으며, 여러 차례의 멤버십 글로도 이 분야의 다양한 최신 기술과 테크닉을 소개한 바 있다. 이 글에서 소개할 주제는 Decremental Graph Algorithm을 얻을 수 있는 프레임워크 중 하나인 Congestion Balancing 이다. 어떠한 알고리즘이 decremental하다는 것은, 간선 추가 쿼리는 처리할 수 없으나 제거 쿼리는...
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May 14, 2022
Densest Subgraph: Supermodularity, Iterative Peeling, Flow
Densest Subgraph: Supermodularity, Iterative Peeling, Flow 이 글에서는 SODA 2022 논문인 Densest Subgraph: Supermodularity, Iterative Peeling, Flow 를 요약한다. 위 논문은 Densest subgraph problem과, 이 문제의 supermodular set function 일반화 버전의 풀이를 다루는 논문이다. 본인은 최근 Densest subgraph problem에 대해서 최근에 다양한 접근 방법들을 정리하고 있는데, 이 글 역시 그러한 노력의 일환이라고 보면 좋다. Densest subgraph problem의 중요성에 대해서는 이 글을 참고하면 좋다. Densest subgraph problem에 대해서는 현재 크게 세 가지 접근 방법이 있다. Flow...
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April 17, 2022
Push Relabel Algorithm (2)
2월의 Push-Relabel algorithm 관련 글에 이어서 Push-relabel에 기반한 다항 시간 MCMF 알고리즘 (Cost Scaling)에 대해서 다룰 예정이다. 이 글에서는 일반적으로 알려진 Successive Shortest Path Algorithm보다 훨씬 더 효율적인 알고리즘을 다룬다. MCMF (Minimum-Cost Maximum-Flow) 문제는 알고리즘 대회 입문서에 다 소개되어 있는 중요한 문제이다. 2월 중순에 글이 올라온 뒤, 3월 1일 Almost-Linear Time Minimum Cost Flow 가 가능하다는 사실이 알려져서 많은 화제를 모았다. 당연하지만 이론전산에서 아주 중요한 연구 결과이고, 저자들은 아마 권위있는 상 하나 정도는 수상하지 않을까...
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March 20, 2022
Introduction to Width Independent MWU
Introduction to Width Independent MWU 네트워크 플로우는 효율적인 그래프 알고리즘을 고안하기 위한 기초적인 도구이다. 이미 글을 통해서 여러 번 밝힌 바가 있지만 이 분야에 대해서 수도 없이 많은 연구들이 진행되었고, 최근 Almost-Linear Time Minimum Cost Flow 가 가능하다는 사실이 알려져서 많은 화제를 모은 바도 있다. 이론적으로는 효율적인 네트워크 플로우 알고리즘에 대한 연구가 상당히 진전이 되어 있지만, 정확하게 네트워크 플로우 문제를 해결하려는 경우는 아직 Push-relabel보다 실용적인 방법이 잘 알려져 있지 않다. 이론적으로 효율적인 플로우 알고리즘은, 그...
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February 15, 2022
Push Relabel Algorithm (1)
그래프의 최대 유량 (Maximum Flow) 를 찾는 문제는 웬만한 알고리즘 대회 입문서에는 다 소개되어 있는 중요한 문제이다. 일반적으로 최대 유량을 찾기 위해서는 Edmonds-Karp, Dinic과 같은 알고리즘을 사용한다. 이 알고리즘의 특징은 빈 그래프에서 시작해서 유량을 증가시키는 “증가 경로” 를 찾는 것을 반복하는 식으로 작동한다는 것이다. Dinic 알고리즘은 최악의 경우 $O(V^2E)$ 에 작동하지만 실제로는 이보다 훨씬 효율적으로 작동한다. 하지만 그럼에도 선형 시간에 가까울 정도로 빠르지는 않고, 한계가 분명히 있는 알고리즘이다. 이 글에서는 Push-relabel 이라고 하는 새로운 플로우...
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January 8, 2022
Efficient Primal-Dual Algorithms for MapReduce
Efficient Primal-Dual Algorithms for MapReduce 1. Introduction MapReduce 라는 프로그래밍 프레임워크는 대용량의 데이터를 처리하는 데 있어서 높은 성능을 보여주고, Apache Hadoop과 같은 오픈 소스 구현체들을 통해서 실용적으로도 그 가치를 증명하였다. 이 글에서는 그래프 최적화 문제를 푸는 데 효과적인 방법 중 하나인 Primal-Dual Method를 MapReduce 프레임워크에서 적용하는 새로운 프레임워크를 소개하고, 이를 통해서 Densest Subgraph Problem의 Near-linear time algorithm을 얻고자 한다. 정확히는, 이 글에서는 $O(\frac{\log n}{\epsilon^2})$ 번의 MapReduce iteration을 통하여 Densest Subgraph problem의 $(1 + \epsilon)$ approximation을...
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December 19, 2021
Faster and Simpler Algorithm for Sorting Signed Permutations by Reversals
Faster and Simpler Algorithm for Sorting Signed Permutations by Reversals Introduction 어떠한 순열 $\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$ 에 대해서 순열의 몇 개 원소에 $-1$ 을 곱해서 만들 수 있는 수열들을 signed permutation (부호 있는 순열) 이라고 하자. 이 수열에 우리는 뒤집기 라는 연산을 할 수 있는데, 뒤집기 연산 $r(i, j)$ 는 구간 $[i, j]$ 에 대해서 구간의 원소에 $-1$ 을 곱하고 구간을 뒤집는 것을 뜻한다. 즉, $\pi$ 에 뒤집기 연산 $r(i, j)$ 를 수행하면,...
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November 21, 2021
2021 ICPC Seoul Regional
2021 ICPC Seoul Regional 이 글에서는 2021 ICPC Seoul Regional의 문제 풀이를 다룬다. 올해 문제는 예년 비해서 상당히 어렵게 출제된 편이다. 거의 모든 해에서 우승 팀이 모든 문제를 풀었고, 그렇지 않은 해 (2015, 2018 등) 에도 웬만하면 한 문제 빼고 다 풀었다는 점을 감안하면 상당히 이례적이다. 다만 모든 문제를 푸는 난이도는 솔직히 2018년이 더 어렵지 않나 싶다. 솔직히 말해서 문제가 자꾸 봤던 유형에서 계속 재탕 삼탕하는 느낌이 너무 강하다. 어느 정도야 그럴 수 있겠지만 올해는...
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October 10, 2021
Constructing a Distance Sensitivity Oracle in $O(n^{2.5794}M)$ Time
Constructing a Distance Sensitivity Oracle in $O(n^{2.5794}M)$ Time 가중치 있는 방향 그래프 $G$ 에서 두 정점 $s, t$ 가 쿼리로 주어질 때, $s$ 에서 $t$ 로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 흔히 모든 쌍 최단 경로 문제 (All-Pair Shortest Path, APSP) 문제라고 부른다. APSP 문제는 그래프 이론의 기초적인 문제 중 하나로, Floyd-Warshall Algorithm을 사용하여 $O(n^3)$ 시간에 해결하는 방법이 아주 잘 알려져 있으며 알고리즘을 공부하다 보면 누구나 접하게 될 기초 알고리즘 중 하나이다. Floyd Warshall Algorithm은...
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September 19, 2021
Minimum $s - t$ cut of a planar undirected graph in $O(n \log^2 n)$ time
Minimum $s - t$ cut of a planar undirected graph in $O(n \log^2 n)$ time 간선에 가중치가 있는 그래프가 주어졌을 때, 최소 $s - t$ 컷은 두 정점 $s, t$ 가 연결되지 않게 하기 위해 지워야 하는 간선 집합의 최소 가중치 합을 뜻한다. Min-cut Max-flow theorem에 의해서, 최소 $s - t$ 컷은 최대 유량 알고리즘을 사용하여 다항 시간에 구할 수 있음이 잘 알려져 있다. 그래프의 최소 컷과 최대 유량의 중요성에 대해서는 이미 여러 번의 SW...
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August 17, 2021
APIO 2021
APIO 2021 APIO 2021은 아시아 태평양 학생들을 대상으로 진행되는 정보 올림피아드 대회로, 국제 정보 올림피아드 (IOI) 바로 다음 순위의 권위와 중요성을 가진 국제 대회이다. 조금 늦기는 했지만 아직 APIO 2021의 문제들을 완전히 풀이한 글이 없어서 풀이를 작성한다. 문제 풀이 한 줄 요약 육각형 영역: 다각형 내부의 모든 격자점 간의 거리 합을 구하는 문제로 환원할 수 있다. 다각형의 3개의 축을 분리하여 생각하면, 각 축에 대해서 삼각분할과 비슷한 일종의 트리를 형성할 수 있고, 모든 경로가 이 트리...
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July 5, 2021
IOI 2021
IOI 2021 대회가 종료되었다. 올해 대회의 개최지는 싱가포르지만, COVID-19로 인하여 현장 대회는 취소되었다. 대회는 모두 온라인으로 진행되며, 한국 학생들은 서울에서 모여서 감독 하에 대회를 진행하고 있다. 이 글에서는 해당 대회에 출제된 문제들을 하나 하나 풀어보고, 그 풀이를 소개한다. IOI에는 다양한 문제가 나오기 때문에 모든 풀이를 하나의 주제로 요약할 수는 없다. 고로 각 풀이의 핵심 키워드를 아래에 정리하였다. 구현한 풀이는 모두 https://github.com/koosaga/olympiad/tree/master/IOI 에서 찾을 수 있다. 문제 풀이 한 줄 요약 candies: 수열에 직접 쿼리를 적용하는...
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June 20, 2021
Fully Dynamic Min Cut
Fully Dynamic Min Cut 그래프의 Minimum Cut (최소 컷) 은 그래프가 연결되지 않도록 지워야 하는 간선의 최소 개수를 뜻한다. 간선에 양의 정수 가중치가 붙으면 이를 Weighted Minimum Cut 이라고 부르고, 이 때는 그래프가 연결되지 않도록 지워야 하는 간선 가중치 합의 최소를 구해야 한다. 최소 컷을 다른 말로 Edge Connectivity 라고 부르기도 한다. 연결된 (Connected) 그래프는 최소 컷이 1 이상인 그래프와 동치이고, 이중 연결 (Biconnected) 된 그래프는 최소 컷이 2 이상인 그래프와 동치이고, 삼중 연결 (Triconnected)...
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May 18, 2021
Incremental Topological Ordering and Strong Component Maintenance
Incremental Topological Ordering and Strong Component Maintenance 방향 그래프 $G$ 에 대해서, $G$ 의 위상 정렬 $O: V \rightarrow [n]$ 은 모든 간선 $u \rightarrow v$ 에 대해서 $O(u) < O(v)$ 가 성립하는 순열로 정의된다. $G$ 의 위상 정렬이 존재하기 위해서는 $G$ 가 사이클이 없어야 한다는 사실이 잘 알려져 있다 (Directed Acyclic Graph, DAG). 위상 정렬은 방향 그래프에서 사용하는 가장 기초적인 알고리즘 중 하나이다. 그래프는 일반적으로 순서가 없이 표현되는데, 문제를 풀거나 처리를 하는 데 있어서...
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April 1, 2021
Expander Decomposition and Pruning: Faster, Stronger, and Simpler
Expander Decomposition and Pruning: Faster, Stronger, and Simpler 알고리즘에서 분할 정복 은 큰 문제를 부분 문제로 나누는 과정을 뜻한다. 이 때 부분 문제들이 가져야 하는 특징은, 원래 문제보다 쉬워야 하고, 부분 문제를 합칠 수 있어야 한다. 예를 들어서, Heavy Light Decomposition은 트리에서 큰 문제를 부분 문제로 나누는 과정에서 자주 등장한다. 각 문제가 쉽고 (직선), 합치는 것이 가능 (Light edge를 통해서 묶음) 하기 때문이다. 트리의 경우에는 HLD 외에도 다양한 분할 정복 기법이 존재하지만, 그래프를 분할 정복하는...
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March 21, 2021
Top Tree로 Dynamic Tree 관리하기
Top Tree로 Dynamic Tree 관리하기 이 글을 읽기 이전에 동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (4/4) 의 “Dynamic Tree DP” 단원을 이해하는 것이 좋다. 이 글은 해당 내용을 잘 이해하고 있다고 가정하고 설명한다. 그래프의 특수한 경우인 트리는 PS를 포함한 알고리즘 전반에서 자주 활용되는 구조이다. 트리는 일반적인 그래프에 비해 여러 방면으로 효율적으로 관리할 수 있다. 이러한 방법은 그 자체로도 관심의 대상이 되며, 그래프 문제를 풀 때도 다양하게 응용할 수 있다. 너무나도 중요하다는 사실이 잘 알려져 있으니, 구태여...
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February 10, 2021
Dynamic MSF with Subpolynomial Worst-case Update Time (Part 3)
Dynamic MSF with Subpolynomial Worst-case Update Time (Part 3) Chapter 4: Continued 4.2. Contraction 4.2.1 Properties of Contraction Lemma 4.2를 사용하여 우리는 Non-tree edge의 개수가 작은 Decremental MSF 알고리즘으로 문제를 환원하였다. 이제 이를 Edge의 개수가 작은 Decremental MSF 알고리즘으로 다시 환원한다. 다행이도, 이 부분은 Competitive Programming에서 익숙한 내용이라서 배경 지식이 있다면 빠르게 이해할 수 있다. Definition 4.11. (Connecting Paths). 트리 $T = (V, E)$ 와 터미널의 집합 $S \subseteq V$ 가 있을 때, $P_{S}(T)$ 는...
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January 11, 2021
Dynamic MSF with Subpolynomial Worst-case Update Time (Part 2)
Dynamic MSF with Subpolynomial Worst-case Update Time (Part 2) Chapter 3. Continued Proof of Lemma 3.4: The Algorithm. $G_0, \alpha_0, l$ 을 Lemma 3.4의 입력이라고 하자. 알고리즘은 $l + 1$ 개의 레벨 로 그래프를 관리한다. 각 레벨은 간선의 부분집합을 관리하며, one-shot expander pruning algorithm을 호출한다. 레벨이 깊을 수록 (숫자가 클 수록) one-shot expander pruning algorithm의 호출 횟수는 많아지며, 반대로 간선의 개수는 적어진다. 정확히 어떠한 원리인지는 후술하고, 아래 필요한 정의를 나열한다. $\delta = \frac{2}{l}$ 이다. $n,...
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December 20, 2020
Dynamic MSF with Subpolynomial Worst-case Update Time (Part 1)
Dynamic MSF with Subpolynomial Worst-case Update Time (Part 1) 그래프에서 최소 스패닝 트리 (Minimum spanning tree)를 구하는 문제는 아주 잘 알려져 있고, 일반적으로 가장 처음 공부하게 되는 그래프 알고리즘에 속하며, 매우 다양한 개념에 응용된다. 그래프의 최소 스패닝 트리는 크루스칼 알고리즘을 통해서 $O(m \log m)$ 에 효율적으로 구할 수 있다. 하지만 그래프에서 간선이 추가되고 제거되는 등의 업데이트가 가해진다면, 이 알고리즘은 매 갱신마다 전체 간선 리스트를 전부 순회해야 하니 더 이상 효율적이지 않게 된다. 이렇게 그래프의 일부가...
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November 22, 2020
2020 ICPC Seoul Regional
Result Analysis 이번 서울 리저널에서의 각 대학 별 상위 팀은 다음과 같다. 서울대학교: Let Us Win ICPC WF (World Finals 진출 확정) KAIST: Everybody (World Finals 진출 매우 유력) 고려대학교: 1_Hoeaeng_2_Hawawang (World Finals 진출 예상) 숭실대학교: 181920 (World Finals 진출 가능성 있음) 성균관대학교: we need sleep 올해 서울 리저널은 관전자 입장에서 재밌게 볼 만한 요소가 아주 많은 대회였다. 그래서 관전 포인트도 좀 긴 편이다. 온사이트였으면 재밌었을 것 같은데 참 아쉽다. 서울대학교 내전. 올해 서울대학교는 예년처럼...
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October 21, 2020
IOI 2020
IOI 2020 IOI 2020 대회가 종료되었다. 한국 학생들의 최종 성적은 다음과 같다. 최은수, 100 / 100 / 100 / 100 / 93.00 / 100, 593.00점, 2등 (금메달) 송준혁, 75 / 100 / 100 / 100 / 92.62 / 65.32, 532.94점, 12등 (금메달) 임성재, 44 / 100 / 41 / 100 / 92.24 / 100, 477.24점, 30등 (은메달) 반딧불, 32 / 100 / 53 / 21 / 80.14 / 100, 386.14점, 61등 (은메달) 올해 한국 학생들의...
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September 2, 2020
APIO 2020
APIO 2020 올해 학생들 성적은 1금5은으로 예년과 비슷한 편으로 보인다. 반딧불이 300점 만점에 300점을 받아서, 2015년 이후 첫 APIO 만점과 함께 금메달을 얻었다. 반딧불 학생은 올해 IOI 국가대표이기도 한데, 아직 고등학교 1학년이니 앞으로도 좋은 결과가 기대된다. 그 뒤를 이어 이온조, 최서현, 장태환, 김지훈, 최은수 학생이 은메달을 얻었다. 모두 축하합니다! 1. 벽 칠하기 Subtask 1 (12점) 특정 벽을 칠할 수 있는 일꾼이 누구인지 고정되어 있다. 고로 색에 대해서 신경쓸 필요가 없고, 각 일꾼들이 문제의 조건에 맞게...
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August 19, 2020
General Matching and applications
General Matching and applications 유량(flow) 관련 알고리즘을 공부했다면 이분 그래프의 최대 매칭에 대해서는 익숙할 것이다. 이분 그래프에서 최대 매칭을 구하는 것은 크게 두 가지 의미에서 중요하다. 첫 번째는 문제 그 자체 에 대한 관심이다. 예를 들어, 택시 애플리케이션이 승객과 기사를 매칭하는 방법이나 결혼 중개업체가 남자와 여자를 짝짓는 방법 모두 이분 그래프의 매칭으로 표현할 수 있다. 두 번째는 이 문제가 다른 문제를 푸는데 어떻게 응용 될 수 있는지이다. 예를 들어, Konig’s theorem을 사용하면 이분 그래프의 최대...
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July 19, 2020
Weighted Min-Cut: Sequential, Cut-Query and Streaming Algorithms
Weighted Min-Cut: Sequential, Cut-Query and Streaming Algorithms 그래프의 최소 컷 (Minimum cut) 은 그래프를 연결되지 않게 하기 위해서 지워야 하는 간선의 최소 개수, 혹은 간선 가중치의 최소 합이다. 만약 간선의 최소 개수로 컷을 정의한다면, 최소 컷은 그래프의 connectivity 를 정의하는 수량이 된다. 고로 최소 컷은 그래프가 주어졌을 때 계산하고 싶은 가장 기초적인 수량에 해당되며, 응용 예시 또한 무수히 많다. 그래프의 최소 컷을 계산하는 방법은 크게 3가지가 있다. 아래에 해당 방법의 발견 시간 순으로 나열한다. (아래...
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June 11, 2020
Parametrized inapproximability for Steiner Orientation by Gap Amplification
Parametrized inapproximability for Steiner Orientation by Gap Amplification 이 글에서는 k-STEINER ORIENTATION 문제와 MAX (k, p)-DIRECTED MULTICUT 문제에 대한 FPT hardness result를 소개하는 논문을 정리한다. 먼저, k-STEINER ORIENTATION 문제는 다음과 같이 정의된다: 입력: mixed graph $G$ 와 $k$ 개의 terminal pair $T_G = {(s_1, t_1), (s_2, t_2), \ldots, (s_k, t_k)}$ (mixed graph 는 무방향 간선과 방향성 간선이 둘 다 존재할 수 있는 그래프를 뜻한다.) 출력: $G$ 의 모든 무방향 간선에 방향성을 주어서, $s_i \rightarrow t_i$...
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May 19, 2020
그래프의 간선 색칠 문제
그래프의 간선 색칠 문제 그래프 $G$가 주어질 때, 각 정점 $v$에 대해 자연수 색상 을 배정하여 간선으로 직접 연결된 정점 쌍마다 다른 색상을 배정해야 한다. 이 때, 배정된 최대 색상을 최소화해보자. 즉, 서로 다른 색의 수를 최소화해야 한다. 이 문제는 그래프의 정점 색칠 (Graph Coloring, Vertex Coloring) 문제로, NP-complete임이 잘 알려져 있다. 너무 어려우니까 다른 문제를 생각해 보자. 그래프 $G$가 주어질 때, 각 간선 $v$에 대해 자연수 색상 을 배정하여 간선으로 직접 연결된 정점 쌍마다...
ICPC Korean-regional algorithm graph-theory random-algorithm
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April 17, 2020
FPT Inapproximability of Directed Multicut
FPT Inapproximability of Directed Multicut 그래프의 연결성, 그리고 연결성을 변화시키는 방법 (그래프 절단) 은 알고리즘 연구의 극초창기부터 연구되었던 문제들이다. 그래프 절단은 냉전 초기 공중폭격으로 적국의 철도망을 파괴하는 군사적인 목적으로 연구가 시작되었다. 이후 반세기 이상 이러한 류의 문제는 그래프에 대한 최적화 문제 중 가장 기초적인 문제로 자리잡는다. 이 문제는 이론적으로도 다른 문제의 근간이 되며, 무수히 많은 현실적 계산 문제와 연관되어 있다. 그래프 절단 유형의 문제로는 크게 다음과 같은 4가지 종류가 있다. 이하 특정한 언급 없을 시,...
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March 6, 2020
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 4)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 4) 이 글은 Chapter 3에서 계속된다. 9. Dynamic Tree DP Dynamic Tree DP는 특수한 형태의 Tree DP를 최적화할 수 있는 방법으로, 일반적인 직선에서 행렬과 같은 구조를 사용하여 DP를 최적화하는 것과 비슷한 방식이다. 사실 Tree DP가 아니라 일직선에서 하는 DP 문제라 하더라도 최적화 방법이 자명하지 않기 때문에, 이 글에서는 먼저 일직선에서의 DP 최적화를 먼저 설명한다. (일직선에서의 이러한 DP 최적화를 부르는 말은 잘 모른다.) In Line 다음과 같은 문제를 생각해 보자....
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February 19, 2020
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 3)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 3) 이 글은 Chapter 2에서 계속된다. 8. Circular LCS 두 문자열 $S, T$ 가 주어질 때 둘의 LCS를 구하는 문제는 잘 알려져 있고, $n = S, m = T$ 일 때 $O(nm)$ 보다 빨리 하기 힘든 것으로도 유명하다. Circular LCS 문제는 $S$ 를 Cyclic shift 할 수 있을 때, 각 cyclic shift에 대해서 LCS를 계산하는 문제이다. 기호로 표현하면, 모든 $0 \le i \le S - 1$ 에 대해, $LCS(S[i:]...
IOI ICPC algorithm dynamic-programming geometry data-structure string bitset LCS
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January 17, 2020
Geometric spanning tree
Geometric Spanning Tree $d$ 차원 좌표공간 상에 크기 $N$ 의 점 집합 $S$ 가 주어졌을 때, 집합 $S$ 를 정점 집합으로 하며 각 정점 쌍마다 두 점의 거리를 가중치로 한 그래프를 생각할 수 있다. 이러한 그래프에서 최소 스패닝 트리를 찾는 문제를 Minimum Geometric Spanning Tree 라고 한다 (Encyclopedia of Algorithms 533p). 두 정점의 “거리” 를 지정하는 방법은 여러 가지가 존재하고, 이 거리계를 어떻게 지정하느냐에 따라서 문제를 해결하는 양상이 많이 달라진다. 일반적으로 사용하는 거리계는 $L_1$ metric...
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December 15, 2019
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 2)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 2) 이 글은 Chapter 1에서 계속된다. 4. Knuth’s Optimization Recurrence: $DP[i][j] = Min_{i \le k < j}(DP[i][k] + DP[k + 1][j] + C[i][j])$ Condition: $C[i][j]$ is a Monge array, and satisfies $C[a][d] \ge C[b][c]$ for $a \le b \le c \le d$. Naive Complexity: $O(n^3)$ Optimized Complexity: $O(n^2)$ Knuth Optimization은 어떠한 구간을 쪼개는 형태의 동적 계획법을 최적화한다. Optimal Binary Search Tree 라고 알려진 문제를 Knuth가 $O(n^2)$ 동적 계획법으로 해결할...
IOI ICPC algorithm dynamic-programming geometry data-structure
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November 15, 2019
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 1)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 1) 동적 계획법(DP) 알고리즘의 시간 복잡도를 줄이는 기법에 대해서는 다양한 프로그래밍 대회에서 많이 출제된 바가 있다. 이러한 알고리즘은 굉장히 아름다운 방법으로 시간 복잡도를 줄이기 때문에 다양한 대회에서 인기가 많으나, 실제로 표준적인 알고리즘 교과서나 입문서에서 배우기는 힘든 내용이라 초심자가 시작하기 힘든 것이 단점이다. 현재 동적 계획법 최적화에 대해서 배울 수 있는 인터넷 자료들은 대부분 최신 자료가 아니기 때문에, 내가 알고 있는 동적 계획법 최적화 기법을 모두 소개함으로써 이 분야의 지식...
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October 20, 2019
장애물을 포함하지 않는 가장 큰 직사각형 찾기
장애물을 포함하지 않는 가장 큰 직사각형 찾기 Motivation 계산기하에서 장애물을 포함하지 않는 가장 큰 도형을 찾는 것은 핵심적인 문제 중 하나이다. 다양한 거리계, 그리고 도형의 모양에 따라서 서로 다른 알고리즘들이 존재한다. 예를 들어서, 다음과 같은 문제들을 생각할 수 있다. A) $n$ 개의 점들이 있을 때, 이 점을 포함하지 않으며 넓이가 가장 큰 원은 무엇인가? B) $n$ 개의 점들이 있을 때, 이 점을 포함하지 않으며 넓이가 가장 큰 직사각형은 무엇인가? C) $n$ 개의 점들이 있을 때,...
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September 14, 2019
$O(N^{1/4 + ε})$ 시간 복잡도에 소인수 분해하기
$O(N^{1/4 + \epsilon})$ 시간 복잡도에 소인수 분해하기 소인수 분해 문제는 합성수가 주어졌을 때 이를 소수들의 곱으로 표현하는 방법이다. 대한민국 초등학교 교과 과정에도 있을 정도로 잘 알려진 이 문제는 계산적인 관점에서 보았을 때 매우 어려운 문제 중 하나이다. 소인수 분해는 입력 크기에 대해 (숫자의 크기를 $N$ 이라고 하면, $\log N$ 에 대해) 다항 시간 복잡도 알고리즘이 존재하지 않는다. 이러한 “어려운” 성질 때문에 소인수 분해는 다양한 암호 알고리즘에 자주 사용된다. 소인수 분해는 간단한 $O(N^{1/2})$ 알고리즘이 존재하지만, 이보다...
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August 18, 2019
2019 국제정보올림피아드(IOI) 문제 풀이
IOI 2019 Day 1 IOI 2019 Day 1 대회가 종료되었다. 한국 학생들의 성적은 다음과 같다. Day 1 기준이고, Day 2 점수를 감안하지 않았음을 유념하라. 김세빈, 100 / 40 / 100, 240점, 8등 - 25등 윤교준, 100 / 40 / 72, 212점, 26등 - 59등 임유진, 100 / 40 / 72, 212점, 26등 - 59등 이온조, 100 / 64 / 38, 202점, 60등 올해도 미국의 Benjamin Qi가 만점인 300점을 3시간 30분만에 얻었다. 문제가 쉽지 않았음에도 불구하고...
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July 21, 2019
2019 한국정보올림피아드(KOI) 중/고등부 문제 풀이
2019 한국정보올림피아드(KOI) 중/고등부 문제 풀이 중등부 1번. 신기한 수 Subtask 2 (100점) 숫자 $N$ 이 주어지면, 해당 수의 일의 자리에 적힌 수는 $N \mod 10$ 이 된다. 이후 숫자를 10으로 나눠주면, 십의 자리, 백의 자리… 에 있던 수들이 모두 일의 자리, 십의 자리로 움직인다. 고로, 이를 반복하면 $O(\log N)$ (입력에서는 최대 8번) 의 단순 연산으로 $N$의 자릿수 합을 알 수 있다. 어떠한 수 $A$ 가 어떠한 수 $B$ 로 나누어 떨어지는 것은, $A$ 를 $B$...
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June 17, 2019
계산 복잡도 위계와 불리언 식
계산 복잡도 위계와 불리언 식 계산 이론은 전산학의 근간을 이루며, 컴퓨터를 사용하는 모든 학문의 수학적 분석에 있어서 중요한 역할을 한다. 계산 이론 분야의 $P = NP$ 난제는 컴퓨터 과학의 거의 모든 분야를 관통하는 중요한 문제이고. $P = NP$ 난제의 여러 중요한 실용적 의미와 그 악명높음은 이미 대중적으로도 잘 알려져 있다. 계산 이론의 내용은 전산학의 어떠한 부분을 다루더라도 만나게 되는 경우가 많지만, 대부분의 내용은 튜링 머신과 같은 복잡한 개념을 바탕으로 정의된다. 이러한 특징 때문에, 계산 이론의...
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May 17, 2019
Berlekamp-Massey 알고리즘의 이해와 응용
Berlekamp-Massey 알고리즘의 이해와 응용 Berlekamp-Massey 알고리즘은 특정한 DP의 점화식을 찾아주는 알고리즘이다. $10^{18}$ 번째 피보나치 수를 찾기 위해서 행렬 곱셈을 짜고, 타일 채우기 문제를 풀기 위해서 수많은 점화식과 씨름하던 옛 시간은 이젠 안녕. 이제는 백트래킹 짜고 하드코딩해서 넣으면 끝난다. 이 글은 알고리즘의 구현법, 동작 원리나 증명에 대해서 거의 설명하지 않는다. 그 이유는 내가 구현법과 동작 원리, 증명을 모르기 때문이다. 알고리즘 구현은 여기에서 복붙해서 사용하면 된다. 이론적 배경지식이 상당히 깊지만, 그 활용도가 매우 높기 때문에, 일단 이해하지...